LeetCode 5. Longest Palindromic Substring 解题报告

题目描述

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

示例

Example 1:

Input : “babad”

Output : “bab” (“aba” is also a valid answer)

Example 2:

Input : “cbbd”

Output : “bb”

注意事项

没有给出.

解题思路

动态规划解法：

如果用暴力破解的方法解决这道题，会发现在求解过程中做了很多重复的工作，因为对于每一个子串都需要重头到尾判断是不是回文的。

回文字符串具有一个性质：当去掉回文字符串的首尾字符后，剩下的子字符串仍然是回文的。反过来利用这个性质，如果我们已经知道了一个子字符串s[i + 1…..j - 1]是回文的，那么如果该字符串的前后字符相等，即s[i] == s[j]，就可以直接判断s[i……j]是回文的。

因此可以用dp[i][j]表示s[i…j]是否回文，1表示是，0表示否。状态转移方程是

dp[i + 1][j - 1] == 1且s[i] == s[j]，dp[i][j] = 1；

而初始条件有两种情况，分别是单个字符（a）跟两个相同字符（aa），所以初始化dp数组时需要对两种情况都进行初始化。

从状态转移方程可以看出，计算dp[i][j]时需要用到dp[i+1][j - 1]和dp[i + 1][j]，所以对于i的遍历应该从尾部开始，见下面的动态规划实现。这种算法的时间复杂度跟空间复杂度都是 $O(n^2)$ 。

Manacher算法：

下面讲解的Manacher算法是基于我自己的理解，所以可能会跟网络上其他资料有些出入，如果有错，欢迎评论指出。

Manacher算法分为以下几步：

1.为了解决奇偶长度回文字符串的不同，需要先对原来的字符串进行填充，得到填充字符串ps，比如abba，填充后成了#a#b#b#a#，为了避免越界的问题，在开头填充一个其他的字符，如$#a#b#b#a#，这样填充之后，奇偶长度的字符串都变成了偶数长度的字符串。

2.利用一个辅助数组p记录ps中最长回文字符子串的扩张长度，即p[i]表示以ps[i]为中心时的最大回文字符串向左右扩张的长度（包括s[i]）。比如：

s[i] : $ # a # b # a #

p[i] : 1 1 2 1 4 1 2 1

观察后发现，p[i]的值为原始字符串以s[i]为中心时最长回文字符子串的长度-1，之所以是长度减一，是因为我的填充方式是填充成了偶数长度的字符串，网络上有些资料的填充方式是只在字符之间填充，填充结果是奇数长度。

3.既然p[i]的值能够计算出原始字符串的最长回文长度，问题就转为了怎样计算p[i]。

设置一个变量id表示回文子串的中心，变量mx表示以id为中心时回文子串的边界。

当需要计算p[i]时，i与mx有两种情况：

（1）i >= mx，即i在mx之外，只能以i为中心，左右元素逐对判断。

（2）i < mx，即i在mx之内，计算i关于id的对称点j，因为p[j]是已经计算好的，而回文具有对称的性质，所以利用p[j]，我们可以得到关于p[i]的信息。此时又具有两种情况：

（2.1）p[j] < mx - i，表明以j为中心的回文子串是包含在以id为中心的回文子串中，根据回文的对称性可知以i为中心的回文子串也是包含在以id为中心的回文子串中，因此p[i] = p[j]。见下图：

（2.2）p[j] > mx - i, 表明以j为中心的回文子串部分包含在以id为中心的回文子串中，我们只能确保mx-i长度的部分是回文的（绿框部分），而超出mx的部分就只能逐对判断。见下图：

通过上述过程就能求得每一个p[i]，由于题目是要返回回文子串，所以每次求完p[i]后都判断是否为当前最长的回文长度，是则保存回文的起始位置和长度，循环结束后截取相应的子串作为结果。

代码

动态规划：

class Solution {public:    string longestPalindrome(string s) {        int n = s.length(), start = 0, maxLen = 1;        vector
   
    
     > dp(n, vector
     
      (n, 0));        for (int i = 0; i < n; i++) {            dp[i][i] = 1;            if (i + 1 < n && s[i] == s[i + 1]) {                dp[i][i + 1] = 1;                start = i;                maxLen = 2;            }        }        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {            for (int j = i + 2; j < n; j++) {                if (dp[i + 1][j - 1] && s[i] == s[j]) {                    dp[i][j] = 1;                    if (j - i >= maxLen) {                        start = i;                        maxLen = j - i + 1;                    }                }            }        }        return s.substr(start, maxLen);    }};

Manacher算法：

class Solution {public:    string longestPalindrome(string s) {        // padding string        string ps = "$#";        for (char c : s) {            ps += c;            ps += '#';        }        ps += '\0';        vector
   
     p(ps.size());        int id = 0, mx = 0;        int start = 0, maxLen = 0;        for (int i = 1; i < ps.size(); i++) {            p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;            while (ps[i + p[i]] == ps[i - p[i]])                 p[i]++;            if (i + p[i] > mx) {                id = i;                mx = i + p[i];            }            // record the longest Palindromic substring            if (p[i] - 1 > maxLen) {                start = (i - p[i]) / 2;                maxLen = p[i] - 1;            }        }        return s.substr(start, maxLen);    }};

总结

回文类的题目是动态规划蛮经典的问题，需要区分问的是回文序列还是回文子串，这周做的是回文字符串问题，主要是学习一下Manacher算法。

这个算法比较难理解的就是计算辅助数组的过程，其实就是利用了回文的对称性，结合图片演算几次就能有所体会，下一周还是会去做动态规划的题目（因为最不熟练就是动归(⊙﹏⊙)b），多练，把算法能力调高上去，努力加油~

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